MOC

확률 변수의 개수가 확률 변수라면?

Main Problem: 고객의 수 $N$ 이 매일 변하고, 고객이 쓰는 돈 $X_{j}$ 도 변한다고 하자. 그러면 둘 다 확률 변수인데, 총 매출액의 분산과 평균을 구할 때는 어떻게 해야할까?

Assumption:

Condition:

MOC_Solution

단순히 생각해서 $E [X] = N \times μ$ 로 생각하면 문제가 생긴다. $N$ 이 확률 변수 그 자체이므로 답이 확률변수가 되어버리는 모순이 발생한다. 어떤 확률변수의 일반적인 평균은 반드시 상수 값이어야 한다.

Adam's Law를 이용하면 $E [X] = E [E [X ∣ N]]$ 이고, $N$ 이 조건으로 들어갔을 때는 $N = n$ 이라는 하나의 상수 값에 대해서 각각의 기대값을 구한 것에 $N$ 을 대체해 넣은 것이므로 $N$ 을 상수 취급 할 수 있다.

E [X ∣ N] = E [j = 1 \sum N X_{j} ∣ N] = N μ

E [E [X ∣ N]] = E [N μ] = μ E [N]

총 매출액의 변동성(분산)은 각 고객의 지출액이 변하는 것과 고객 수가 변하는 데서 온다 ⇒ EVE's Law

V [X] = E [V [X ∣ N]] + V [E [X ∣ N]]

V [X ∣ N] = V [j = 1 \sum N X_{j} ∣ N] = j = 1 \sum N V [X_{j}] = N σ^{2}

E [N σ^{2}] = σ^{2} E [N]

V [E [X ∣ N]] = V [N μ] = μ^{2} V [N]

V [X] = σ^{2} E [N] + μ^{2} V [N]